درسنامه آموزشی فصل دوم هندسه (3) کلاس دوازدهم ریاضی

درس 1: آشنایی با مقاطع مخروطی و مکان هندسی

بازدید5/3 K

تاریخ بروزرسانی1401/08/4

برج طغرل در شرق آرامگاه ابن‌بابویه شهر ری و از آثار به‌جامانده از دورۀ سلجوقیان است. ارتفاع برج حدود 20متر است و به عقیدۀ برخی کارشناسان این برج مانند یک ساعت آفتابی عمل می‌کند و می‌توان از روی تابش آفتاب بر روی کنگره‌های آن، زمان را تشخیص داد.
شکل این برج به‌صورت یک مخروط ناقص توخالی است و در نتیجه در ساعت‌های مختلف روز خورشید به درون آن تابیده و سطح داخلی آن را تاحدودی روشن می‌کند. مرز بین سایه و روشنایی، بخشی از محیط یک بیضی است! (چرا؟)

مقاطع مخروطی

در پایهٔ دهم با سطح مقطع صفحه با برخی اجسام هندسی آشنا شدید. فرض کنید یک کره را (مانند شکل) توسط یک صفحه قطع کنیم (برش دهیم). منظور از فصل مشترک خط و کره مجموعهٔ نقاطی است که هم در صفحه و هم در کره قرار دارند. به نظر شما فصل مشترک یک صفحه و یک کره چه شکلی می‌تواند باشد؟

رویۀ مخروطی: فرض کنید دو خط $d$ و $l$ در نقطهٔ $A$ (مانند شکل) متقاطع (غیرعمود) باشند. سطح حاصل از دوران خط $d$ حول خط $l$ را یک رویهٔ مخروطی (سطح مخروطی) می‌نامیم. در این حالت خط $l$ را محور، نقطهٔ $A$ را رأس و خط $d$ را مولد این سطح مخروطی می‌نامیم.

حال می‌خواهیم به‌طور شهودی با فصل مشترک یک صفحه و یک سطح مخروطی، با توجه به حالت‌های مختلف صفحه و سطح مخروطی نسبت به هم، آشنا شویم. از تصاویر ارائه شده برای درکِ بهتر شکل حاصل کمک بگیرید.

الف) در حالتی که صفحهٔ $P$ بر محورِ سطح مخروطی عمود باشد و از رأس آن عبور نکند، شکل حاصل یک دایره است.

- در چه حالتی فصل مشترک صفحهٔ $P$ و سطح مخروطی تنها نقطهٔ $A$ خواهد بود؟

دایره

ب) در حالتی که صفحهٔ $P$ بر محور $l$ عمود نباشد و با مولدِ $d$ نیز موازی نباشد و تنها یکی از دو نیمه مخروط را قطع کند، سطح حاصل یک بیضی خواهد بود.

بیضی

پ) اگر صفحهٔ $P$ با مولد $d$ موازی باشد و از رأس مخروط عبور نکند، در این صورت فصل مشترک صفحه و سطح مخروطی یک سهمی است. (در این حالت اگر صفحه $P$ ار رأس سطح مخروطی عبور کند، فصل مشترک آنها یک خط است.)

سهمی

ت) اگر صفحه $P$ به‌گونه‌ای باشد که هر دو تکهٔ بالایی و پایینی سطح مخروطی را قطع کند و شامل محور $l$ نباشد، در این صورت فصل مشترک صفحه و سطح مخروطی یک هذلولی است. در این کتاب به تعریف دقیق و بررسی خواص هذلولی نخواهیم پرداخت.

هذلولی

با تعریف دایره آشنایی قبلی دارید. توجه داشته باشید که بیضی، سهمی و هذلولی نیز هر کدام تعاریف دقیق و مشخص دارند، اما اینکه چرا فصل مشترک صفحه و سطح مخروطی مطابق با آنچه گفته شد دایره، بیضی، سهمی یا هذلولی است، قابل اثبات است ولی ما در این کتاب به این اثبات‌ها نمی‌پردازیم. حال که با دایره، بیضی، سهمی و هذلولی (مقاطع مخروطی) به‌صورت شهودی آشنا شدیم، برای تعریف دقیق این اشکال، ابتدا مفهوم مکان هندسی را معرفی می‌کنیم.

مکان هندسی

طریقهٔ رسم و ویژگی‌های عمود منصف یک پاره خط را از کتاب هندسهٔ 1 به خاطر دارید. دو ویژگی زیر را یادآوری می‌کنیم:

- هر نقطه روی عمود منصف پاره خط، از دو سر پاره خط به یک فاصله است.
- هر نقطه که از دو سر یک پاره خط به یک فاصله باشد، حتماً روی عمود منصف آن است.

اگر خط $d$ عمود منصف پاره‌خط $AB$ باشد، در این صورت

$M \in d \Leftrightarrow MA = MB$

به‌طور خلاصه، یک نقطه روی عمود منصف پاره‌خط است، اگر و تنها اگر از دو سر پاره خط به یک فاصله باشد.

به‌عبارت معادل، می‌گوییم عمود منصف یک پاره خط، مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله‌اند.

به‌طور کلی مفهوم مکان هندسی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

تعریف: مکان هندسی، مجموعۀ نقاطی از صفحه (یا فضا) است که همۀ آنها یک ویژگی مشترک داشته باشند و همچنین هر نقطه که آن ویژگی را داشته باشد عضو این مجموعه باشد.

در کتاب هندسه 1 با ویژگی‌ها و طریقهٔ رسم نیمساز زاویه آشنا شدید. دو قضیه مهم در مورد نیمساز زاویه را یادآوری کنید:

1- هر نقطه روی نیمساز زاویه باشد فاصله آن از دو ضلع زاویه به یک اندازه است.
2- هر نقطه که فاصله آن از دو ضلع زاویه به یک اندازه باشد روی نیمساز زاویه است.

اکنون گزاره زیر را کامل کنید:

یک نقطه روی نیمساز زاویه است، اگر و تنها اگر فاصله آن از دو ضلع زاویه به یک اندازه باشد

$MH = MH'$$({\hat O_1} = {\hat O_2})\,M \in Oz \Leftrightarrow $

بنابراین می‌توان گفت:
نیمساز هر زاویه، مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله آن‌ها از دو ضلعِ سازنده زاویه برابر باشد.

دایرهٔ $C$ به مرکز $O$ و شعاع $r$ را در نظر بگیرید.

الف) هر نقطهٔ دلخواه $A$ روی دایره، از $O$ چه فاصله‌ای دارد؟
اندازه شعاع

ب) اگر $B$، یک نقطه در صفحه باشد و از $O$ به فاصلهٔ $r$ باشد $(OB = r)$ با برهان خلف نشان دهید، $B$ روی دایره است و از (الف) و (ب) نتیجه بگیرید:

$A \in C \Leftrightarrow OA = r$

نتیجه
نقطهٔ $A$ روی دایرهٔ $C(O,r)$ است، اگر و فقط اگر فاصله آن تا مرکز برابر با شعاع باشد.

نتیجه
دایرهٔ $C(O,r)$ مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک نقطه ثابت به فاصله ثابت باشد.

دو خط موازی $d$ , $d'$ را که فاصلهٔ آنها از هم 2 سانتی‌متر است، در نظر بگیرید. آیا نقطه‌های دلخواه $A$ و $B$ روی $d'$، از خط $d$ فاصلهٔ یکسانی دارند؟ بله این فاصله چقدر است؟ آیا می‌توانید نقطه (یا نقاط) دیگری مشخص کنید که از $d$ به فاصلهٔ 2 سانتی‌متر باشند و روی $d'$ نباشند؟ همه نقاطی که از $d$ به فاصله 2 سانتی‌متر واقع‌اند، روی چه شکلی قرار دارند؟
خطی موازی با خط $d$ در طرف دیگر

آیا گزاره زیر درست است؟ بله

یک نقطه در صفحه، از خط $d$ به فاصلهٔ 2 سانتی‌متر است، اگر و تنها اگر روی یکی از دو خط $d'$ و $d''$ که موازی $d$ هستند، واقع باشد.

آیا نتیجه‌گیری زیر درست است؟ بله

مکان هندسی نقاطی از صفحه که از خط $d$ به فاصله 2 سانتی‌متر هستند، دو خط راست موازی $d$ (در دو طرف آن) و به فاصلهٔ 2 سانتی‌متر از آن می‌باشد.

مکان‌های هندسی مهم در صفحه:

- مکان هندسی نقاطی که از دو نقطهٔ ثابت $A$ و $B$ در صفحه به یک فاصله‌اند، عمودمنصف $AB$ است.
- مکان هندسی نقاطی که از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله‌اند، نیمساز آن زاویه است.
- مکان هندسی نقاطی که از نقطهٔ ثابت $O$ به فاصله ثابت $k$ قرار دارند، دایره‌ای به مرکز $O$ و به شعاع $k$ است.
- مکان هندسی نقاطی از صفحه که از خط $d$ به فاصلهٔ ثابت $k$ قرار دارند، دو خط موازی $d$، به فاصلهٔ $k$ از آن و در دو طرف آن است.

کاربرد مکان هندسی

یکی از مهم‌ترین کاربردهای مکان هندسی، ترسیم‌های هندسی و یافتن نقطه (یا نقاطی) است که دارای ویژگی معینی باشند. بدیهی است که اگر ${S_1}$ مکان هندسی نقاطی با ویژگی ${P_1}$ و ${S_2}$ مکان هندسی نقاطی با ویژگی ${P_2}$ باشد، ${S_1} \cap {S_2}$ مجموعه نقاطی است که هر دو ویژگی ${P_1}$ و ${P_2}$ را دارند. بنابراین برای یافتن نقاطی که این دو ویژگی را داشته باشند، باید نمودارهای ${S_1}$ و ${S_2}$ را رسم کرده و نقطه (یا نقاط) برخورد آنها را به‌دست آورد.

مثال: دو نقطه $A$ و $B$ و خط $d$ که شامل هیچ یک نیست در صفحه مفروض‌اند. نقطه‌ای بیابید که از $A$ و $B$ به یک فاصله بوده و از $d$ به فاصلهٔ 3 سانتی‌متر باشد.

حل: مکان هندسی نقاطی که از $A$ و $B$ به یک فاصله‌اند، عمود منصف $AB$ و مکان هندسی نقاطی که از خط $d$ به فاصله 3 سانتی‌متر باشد، دو خط موازی $d$ به فاصلهٔ 3 سانتی‌متر از آن هستند. بنابراین نقطهٔ برخورد خط $l$ (عمود منصف $AB$) و دو خط موازی $d'$ و $d''$ جواب مسئله است (نقاط ${M_1}$ و ${M_2}$).

بحث در وجود جواب: اگر $l$ یکی از دو خط $d'$ و $d''$ را قطع کند دیگری را هم قطع می‌کند و مسئله مانند شکل، 2 جواب دارد. اگر $l$ با دو خط موازی باشد، مسئله جواب ندارد و اگر $l$ بر یکی از دو خط $d'$ و $d''$ منطبق باشد، مسئله بی‌شمار جواب دارد.

1- مکان هندسی هر یک از مجموعه نقاط زیر را مشخص کنید:

الف) نقاطی از صفحه که از دو خط متقاطع $d$ و $d'$ به یک فاصله‌اند. دو تا نیمساز بین دوخط
ب) مرکزهای همهٔ دایره‌هایی در صفحه که بر خط $d$ در نقطهٔ ثابت $A$ مماس‌اند. روی خط عمود بر $d$ در نقطه $A$ (خود $A$ جواب نیست)
پ) مرکزهای همهٔ دایره‌هایی با شعاع ثابت $r$ که بر خط $d$ در صفحه مماس‌اند. دو خط موازی با خط $d$ به فاصله $r$
ت) مرکزهای همهٔ دایره‌هایی با شعاع ثابت $r$ که بر دایرهٔ $C(O,r)$ در صفحهٔ این دایره مماس خارجی‌اند. دایره‌ای به مرکز $O$ و به شعاع $2r$

2- نقاط $C,B,A$ و $D$ در صفحه مفروض‌اند. نقطه ای در این صفحه بیابید که از $A$ و $B$ به یک فاصله و از $C$ و $D$ نیز به یک فاصله باشد (بحث کنید).

3- نقاط $B,A$ و $C$ در صفحه مفروض‌اند. نقطه‌ای بیابید که از $A$ و $B$ به یک فاصله و از $C$ به فاصلهٔ 3 سانتی‌متر باشد (بحث کنید).
عمودمنصف $AB$ در دایره‌ای به مرکز $O$ و به شعاع 3 سانتی‌متر را رسم می‌کنیم محل تقاطع (در صورت وجود) جواب مسئله است که ممکن است دو نقطه، یا یک نقطه و یا نقطه‌ای بدست نیاید.

4- نقطهٔ $A$ و خط $d$ در صفحه مفروض‌اند. نقطه‌ای بیابید که از $A$ به فاصلهٔ 2 سانتی‌متر و از $d$ به فاصلهٔ 3 سانتی‌متر باشد (بحث کنید).
دایره‌ای به مرکز $A$ و به شعاع 2 سانتی‌متر را رسم می‌کنیم و دو خط موازی $d$ به فاصله 3 سانتی‌متر در دو طرف آن رسم می‌کنیم محل تقاطع (در صورت وجود) جواب مسئله است که ممکن است دو نقطه، یا یک نقطه و یا نقطه‌ای نباشد.

5- هرگاه صفحه‌ای شامل محور یک سطح مخروطی، آن را برش دهد، فصل مشترک (مقطع) حاصل چه شکل است؟
دو خط متقاطع

6- هرگاه دو خط $d$ و $l$ موازی باشند، از دوران $d$ حول $l$ سطحی ایجاد می‌ؤود که آن را یک سطح استوانه‌ای می‌نامیم. حال فرض کنید صفحهٔ $P$، یک سطح استوانه‌ای را قطع کند. در حالت‌های مختلف دربارهٔ سطح مقطع حاصل بحث کنید (چهار حالت).